固有値は +ħ/2 と −ħ/2 です。対応する固有ベクトルを正規化して並べた行列 U を作ると、Sy は U で対角化でき、U はユニタリ行列になります。
Sy は (ħ/2)σy、σy は
( 0 −i )
( i 0 )
なので、まず σy の固有値を求めます。固有方程式 det(σy−λI)=0 より
det( (−λ −i),( i −λ) ) = λ^2−1 = 0
となり、λ=±1。よって Sy の固有値は (ħ/2)倍して ±ħ/2 です。
固有ベクトルは、
λ=+1 のとき (σy−I)v=0 から a=−ib となるので、例えば v+ = (−i, 1)^T。
λ=−1 のとき (σy+I)v=0 から a=ib となるので、例えば v− = ( i, 1)^T。
どちらも長さが √2 なので正規化すると
|+y\u0026gt; = (1/√2)(−i, 1)^T、|-y\u0026gt; = (1/√2)( i, 1)^T です。
この2本を列に並べて
U = (1/√2) ( (−i i),
( 1 1) )
と置けば、
U† Sy U = diag(ħ/2, −ħ/2)
となり対角化できます。U がユニタリなのは、列ベクトル同士が直交し（内積0）、それぞれ長さ1なので U†U=I が成り立つからです。
