10000 = 25^2 * 16 。
2026^2026 = (1 + 25 * 81)^2026 より、
2026^2026 は、1 + 2026 * 25 * 81 + 25^2 * Q (Q は整数)と表せるから、
mod 25^2 、すなわち、
mod 625 で、
2026^2026 ≡ 1 + 2026 * 25 * 81 ≡ 151 なので、
2026^2026 は 625x + 151 (xは整数)と表せます。
mod 16 で、
2026^6 = 16 * 1013^6 ≡ 0 * 1013^6 ≡ 0 だから、
2026^2026 ≡ 0 なので、
2026^2026 は 16y (yは整数)と表せます。
625x + 151 = 16y 、すなわち、
625x - 16y = -151 、を満たす y を求めると、
625 - 16 * 39 = 1 。
625 * (-151) - 16 * (-5889) = -151 。
625 * (16n-151) - 16 * (625n-5889) = -151 (nは整数)。
だから、
y = 625n-5889 。
よって、
2026^2026 は、
16 * (625n-5889) = 10000n - 94224 = 10000(n-10) + 5776
と表せます。
答え 千の位は 5 、百の位は 7 。
