数学II Bのベクトルに関する星3-4レベルの問題を30問用意するのは少し大変ですが、代表的な問題をいくつか紹介し、その難易度を説明します。自分で問題を追加したり、他の問題を使って練習することもおすすめします。
1. ベクトルの加減法
- 例: $\veca} = (2, 3), \vecb} = (-1, 4)$ としたとき $\veca} + \vecb}$ と $\veca} - \vecb}$ を計算せよ。
- 難易度: 星2
2. ベクトルのスカラー倍
- 例: $\veca} = (5, -2)$ としたとき $3\veca}$ を計算せよ。
- 難易度: 星2
3. ベクトルの内積
- 例: $\veca} = (3, 4), \vecb} = (2, 1)$ としたとき $\veca} \cdot \vecb}$ を計算せよ。
- 難易度: 星2-3
4. ベクトルの外積
- 例: $\veca} = (1, 2, 3), \vecb} = (4, 5, 6)$ としたとき $\veca} \times \vecb}$ を計算せよ。
- 難易度: 星3-4
5. ベクトルの大きさ
- 例: $\veca} = (6, 8)$ の大きさを求めよ。
- 難易度: 星2-3
6. ベクトルの正射影
- 例: $\veca} = (3, 4), \vecb} = (1, 1)$ としたとき $\veca}$ から $\vecb}$ への正射影ベクトルを求めよ。
- 難易度: 星3-4
7. ベクトルの成分表示と極座標表示の変換
- 例: 単位ベクトルを成分表示と極座標表示で表せ。
- 難易度: 星3
8. ベクトルの平行性と垂直性
- 例: $\veca} = (2, 3), \vecb} = (4, 6)$ が平行であることを示せ。また $\vecc} = (1, -2)$ が $\veca}$ と垂直であることを示せ。
- 難易度: 星3-4
9. ベクトルの成分配列とベクトル方程式
- 例: $\veca} = (1, 2), \vecb} = (3, 4)$ としたとき、$\vecp} = s\veca} + t\vecb}$ の成分配列を表せ。
- 難易度: 星3
10. ベクトルの角度
- 例: $\veca} = (1, 2), \vecb} = (3, 4)$ の間の角度を求めよ。
- 難易度: 星3-4
11. ベクトルの応用（面積や体積の計算）
- 例: 3点 $\vecA} = (1, 0, 0), \vecB} = (0, 1, 0), \vecC} = (0, 0, 1)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ。
- 難易度: 星4
12. ベクトルの応用（直線と平面の位置関係）
- 例: 直線 $\vecr} = \veca} + t\vecb}$ と平面 $\vecr} \cdot \vec} = d$ の位置関係を調べよ。
- 難易度: 星3-4
これらの問題は、ベクトルの基本概念から応用までをカバーしており、難易度は星2から星4までです。実際の問題集やオンラインリソースを活用して練習すると、より効果的にスキルを向上させることができます。
