与えられた偏微分方程式は、\(x \fracpartial z}\partial x} + y \fracpartial z}\partial y} = 2xy\) です。この方程式は一階の線形偏微分方程式で、メソッドの一種である特徴線法を使って解くことができます。
まず、特徴線を求めるために次の常微分方程式を考えます。
\[
\fracdx}x} = \fracdy}y} = \fracdz}2xy}
\]
この方程式から、\(dx/x = dy/y\) という部分を取り出して解いてみます。これは、\( \ln|x| = \ln|y| + C_1 \) つまり \( x = C_1 y \) という関係式を導きます。ここで、\(C_1\)は積分定数です。
次に、\( \fracdx}x} = \fracdz}2xy} \) を解いてみます。これを変形すると \(2y \, dx = \fracdz}x}\) となり、\(2yx \, dx = dz\) となります。この積分を行うと、\( x^2 y = z + C_2 \) つまり \( z = x^2 y + C_2 \) という関係式を導きます。ここで、\(C_2\)は積分定数です。
しかし、\(C_2\)は特徴線 \(x = C_1 y\) 上で定数であり、特徴線に沿って一定の値を保つはずです。つまり、\(C_2\)は特徴線のパラメータ \(C_1\) に依存する関数であるべきです。したがって、\(C_2 = F(C_1)\) とおき、さらに \(C_1\)を特徴線の方程式における関係式を使い \(x/y\) で置き換えます。このとき、一般解は次のようになります。
\[
z = x^2 y + F\left(\frac}y}
ight)
\]
ここで、\(F\)は任意の関数を表します。これは、与えられた偏微分方程式の一般解となります。完全解は、初期条件や境界条件が与えられたときに特定の解を見つけることができますが、与えられた情報からは完全解を特定することはできません。したがって、与えられた偏微分方程式の一般解は上記の形となります。
