至急交通系ICカードを濡らして絞ったクリーニングクロスで拭いて乾いたティッシュで乾拭きした場合、何か問題はあるでしょうか？

なんら問題はありません。

強いて言うなら、高温（約120℃以上）で印字が消えてしまいますので、沸騰するような熱湯をかけたり、ドライヤーで乾かしたり、アイロンがけをするのは避けてください。