鉛直ばねふりこ(4)を力学的エネルギーの保存を使って解いたんですけど、できなかったです。どうしてだめなのか教えていただきたいです。

ここが違います。
mgℓ₀ = (1/2)mv² +(1/2)kℓ₀²
となります。
mgℓ₀ = (1/2)mv² +(1/2)mgℓ₀
gℓ₀ = (1/2)v² +(1/2)gℓ₀
2gℓ₀ = v² +gℓ₀
v² = gℓ₀
v = √(gℓ₀)