ニーベンのπが無理数の証明ってどうやってあの関数を思いつけばいいんですか？もし誘導なかったら絶対思いつかないと思います。背景等あれば教えて欲しいです

目的意識があれば誰でも思いつきます。ただ、最初に問題を定式化したところがすごく綺麗だと思います。



Nivenはf(x)sinxの0からπでの定積分が整数になり尚且つ0より大きく1より小さいように出来ないか考えました。（πが有理数の時）



sinの積分から結局f(0)＝f(π)＝0とfのx＝0,πでの高階微分係数が整数になることが必要だと分かります。



これを最もシンプルな多項式の組み合わせで実現したということになります。n！で割るのはテイラー展開など同じ思想で高階微分した時に出てくるからです。