数学ⅠAの質問です。この問題の最後のクケがわかりません。解説には「R=4/sin∠APBであるのでRが最小となるのは分子が一定(4)より分母であるsin∠APBが最大になるときであるから∠APB=90°の三角形」とあるんですがどういうことですか…？^^;どなたがお願い致しますm(_ _)m

まず、キに8が入ることは分かりますか？
正弦定理は、
外接円の直径=内接する三角形の1辺/sin(分子選んだ辺に向かい合った角)
という公式です。
よって、分母が∠APBの為分子には向かい合った辺であるABが入ります。つまり、問題文よりAB=8の為キには8が入ります。
解説のR=4/sin∠APBは、キを含む式を÷2すると出てきます。

①分母に入る最大の数を考える
Rを最小にするには、分母にsin∠APBに入れられる最大の数を入れなくてはなりません。
単位円を思い浮かべて頂ければわかると思いますが、Sinは最大1、最小-1です。つまり、sinである分母に入れられる最大の数は1です。
したがって、sin∠APB=1になるために∠APBが90°となり、R=4/1=4です。

②円の中に引ける最長の直線を考える
円の中に引ける最大の長さの直線は円の直径です。
仮定よりAB=8と定められている為、8より小さい直線を直径にすることが出来ません。よって直径8、つまり半径Rは4となります。
△ABPが円に内接していること、ABが直径であることから、∠APBは90°です。

私は②で解いておりますが、解説は①ですね。