口座が増えてもいいのなら、ネット銀行が金利もいいし、扱いやすいです。
ただ、いくつも管理するのは・・・というのでしたら、今ある銀行で貯蓄口座にためていくというのもありだと思います。
普通の銀行で総合口座にすると普通預金、貯蓄預金、定期預金が一つの通帳で管理できると思います。
とりあえずためておきたい金額を貯蓄預金に振替して、さらにこれくらいは使わないという金額を定期預金にしたらいいかなと。
(ちなみにこの前ATMで解約にすると日付に満期解約になってしまうけど、銀行のアプリをスマホに入れて解約すると即解約ができると教えてもらいました)