英語では関係代名詞節が名詞を後ろから修飾しますが、日本語では「〜してあげた女性」のように前から修飾します。
修飾の方向が違うので、日本語に訳すときはどうしても「~て」「~して」という接続的な表現が自然に生まれます。
正解の文を分解すると、
We tried to calm down the lady.
+
We looked for her diamond ring all over the house.
と、2つの文を関係代名詞でつないだ文になります。
これを、英語の語順で前から考えると、意味の区切りごとに頭に意味が入ってくるので、
「私たちは彼女を落ち着かせようとした」
「(彼女の)ダイヤの指輪を私たちが家中探し回った」
となります。
これを日本語の語順で自然な翻訳文にすると、接続詞で結んだようなニュアンスが出てきます。