大丈夫ですよ。その気持ち、とてもまっすぐで素敵だと思います。
結論から言うと、色紙にサインを書いてもらうこと自体はまったく失礼ではありませんし、珍しいことでもありません。
特に「言霊として大切にしたい」「励ましの言葉がほしい」という理由なら、先生側も悪い気はしないはずです。
駿台の先生はこれまでたくさんの受験生を見送ってきていますし、
・短期間でも真剣に授業を受けてくれていた
・尊敬の気持ちを持ってくれている
というのは、きちんと伝わります。
「合格祈願」や「お守り代わり」に言葉を求められるのは、講師として嬉しいことでもあります。
タイミングについてですが、
授業前に声をかけるのは、まったく気まずくありません。
むしろおすすめです。
授業後は質問の列や片付けで慌ただしくなりがちなので、
授業開始の少し前に
「今日が最後なので、もしご迷惑でなければ一言いただけたら嬉しいです」
と短く伝えるのが一番スマートです。
色紙でも問題ありませんし、
「お時間なければ一言だけで大丈夫です」と添えると、より配慮が伝わります。
あなたが今日もらおうと思っている判断は、間違っていません。
その言葉は、これから先の受験期を支える力になると思います。
勇気はいりますが、きっと後悔しない行動ですよ。