至急！！！私はiPhoneを使っているんですが、App store以外から、アプリをダウンロードしてないか、何か課金や購入してないか、調べる方法、ご存知でしたら教えてくださると嬉しいです。

iphoneは脱獄をしていない限りApp Store以外からアプリをインストールすることはできません。
できるのはアンドロイドだけです。

購入については最近のゲームは外部のウェブサイトから課金ができたりしますので完全に調べる方法はありません。
相手のスマホを完全に操作できる状態にして、課金対象のウェブサイトの履歴やメールなどで購入履歴が残ってないかどうかを見る程度です。