テキスト入力だと、すべての文字を小さくできるわけではないので、
n個からr個選ぶ組み合わせを、nCrの代わりにC(n,r)と書くことにします。
だから
C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)
を説明することになります。
さて
C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)
というのは習っていますよね？
これが理解できないのであれば、ここから先に進めません。
教科書を読みなおしましょう。
C(n-1,r-1)
=(n-1)!/((r-1)!*(n-1-r+1)!)
=(n-1)!/((r-1)!*(n-r)!)
C(n-1,r)
=(n-1)!/(r!*(n-1-r)!)
=(n-1)!/(r!*(n-r-1)!)
C(n-1,r-1)+C(n-1,r)
=(n-1)!/((r-1)!*(n-r)!)+(n-1)!/(r!*(n-r-1)!)
ここで、(r-1)!にrを掛けるとr!になることは理解できますか？
(r-1)!=1*2*3*...*(r-1)
r!=1*2*3*...*(r-1)*r
なので、(r-1)!にrを掛けるとr!になります。
同様に、(n-r-1)!に(n-r)を掛けると(n-r)!になります。
だから、分母がr!*(n-r)!になるように通分すると
=r*(n-1)!/(r!*(n-r)!)+(n-r)(n-1)!/(r!*(n-r)!)
=(r*(n-1)!+(n-r)*(n-1)!)/(r!*(n-r)!)
=(r+n-r)*(n-1)!/(r!*(n-r)!)
=n*(n-1)!/(r!*(n-r)!)
=n!/(r!*(n-r)!)
=C(n,r)
