点 Pが弧AB 上にあるときは, Q は線分PN の中点になります。
△NSP, △PNQ はどちらも ∠SNP=45°の直角二等辺三角形で, 斜辺は NP=2√2, NQ=√2 になるので, NQ:NP=1:2 です。
特にPが円周全体を動くとき, Q は球の中心を通りNSに垂直な平面と球の交線である半径1の大円 C1を描きます。(よって弧AB上にあるときにはその演習の1/4 なので, 2π/4=π/2 になります)
問題はPが線分ABにあるときですが, 説明は難しいのですが, 直線AB上にPがあるとき, Q はNを通る円を描きます. (この場合は中点ではありません)
その直径は ABの中点を R とし, P=RのときのQ を R' とすれば, NR'を直径とする円 C2です. SR=√2なのでNR=√(2^2+2)=√6 です。
△NSR と△NR'S は相似で相似比は NR:NS=√6:2 になります。
従って, NR'=2/√6×NS=4/√6=2√6/3 です。
つまりNR'を直径とする円の半径は√6/3 になります。
あとは C1と C2 の交点をA', B' とすればこれがそれぞれ P=A, Bのときの Q の点になるので, C2の円周上の弧A'B' で R'を含む（Nを含まない)部分の長さを求めればよいことがわかります。
その部分の弦A'B'の長さは√2 です. これは円C1の半径が 1で弧A'B'がそれの1/4 だからです。
そして, C2の中心をO としたとき∠A'OB'=θとすれ半径√6/3であることより
余弦定理をつかって, cosθ=(6/9+6/9-2)/(2・6/9)=(4-6)/4=-1/2 になります。よってθ=120°です.
(もっと初等的にはA'B'の中点をC'とすれば, A'C'=√2/2 なので,
OC'=√(6/9-1/2)=√6/6 となって, △OA'C'は
OC':OA':A'C'=√6/6:√6/3:√2/2=√6:2√6:3√2=1:2:√3の三角形になります.
∠A'OC'=60°なので, ∠A'B'=120°になります)
特に弧A'B'でＲを含む部分の長さは円C2の円周の1/3 で,
2× √6/3π×1/3=2√6π/9 になります。
求める曲線の長さは,
π/2+2√6π/9=(9+4√6)π/18 になるかと思います。
