◎at the beginning of the next monthってある程度広い時間で➡残念ながら、そうではないと思います。「来月の始めに」とは「来月の一日に」とも解釈できますから、「atは一点」という解釈をお勧めいたします。
will be doingは「～始めることになるでしょう」という意味で、「自分の意志で、始めないこと」を意味するために用います。つまり、Mr. Richardさんは雇われる立場なので、「自分の意志で、勤務を開始する日を決めるわけにはいかなかい、勤務校の都合」ということを意味するために、will be doingが用いられており、自然です。
一方、未来完了はwill startとまったく異なります。今回未来完了が用いられない理由は、その本質的な意味が「(今回)一日の前までに、すでに始めてしまっていて、一日に至っているだろう」という意味になるからです。これが正解になるためには、次のような文になるはずです。
・Mr. Richard will have started his position as an ALT ❝by❞ the beginning of the next month.
「(直訳)来月の始めの前までには、～の仕事を始めてしまっていて、来月の始めに至っているでしょう➡Richard先生は、来月の始め❝までに❞ALTの仕事を始めてしまっているでしょう」
完了形の「完了」は「ある時点の少し前に始めて、そのままその時点に至っている」という２段式の表現なので、atは合わず、byが合うでしょう。加えて、will have startedには、「主語の意志」が表されるので、ここでは避けた方がいいでしょう。以上、参考になれば幸いです。
