パパさん育休のご質問として、ひと月有給するよりは半々で休業休暇なされたほうがよろしいでしょう。産後8週内に14日以上する育児休業給付金(およびその上乗せ)は休業日数分でますが、年次有給休暇は後半15日の期間中所定労働日にかぎり、所定労働時間分の休暇日賃金支払いならよろしいのですが、平均賃金等支払いですと目減りします。
保険料免除は申請ですので、育休申し出とともに会社に希望を出してください。休業15日のうち月末日を休業している月、もしくは同月内開始日終了日を含む月のどちらかで免除となります。なお翌月支払い給与で引き去りがない形になります。