休業日や休憩時間に、業務に関連する連絡を個人的に行うのは違法です。
休日出勤扱いになります。
もちろん、チェックは勤務時間中で構わないってケース、非常にまれな重要な内容なんてことで、そこまで杓子定規に対応しなくてもいいってことはありますよ。
でも、働き始めたばかりで、その状態というのは、ちょっとヤバい会社のような気がします。
私だったら、今の状況を、個人的な連絡が〇件、急いで回答しなければいけない質問が〇件、単なるお知らせが月に〇件、といった数字にしてしまって、「
こういう理由で続ける自信がなくなっています。他の人もしていることなので、勤めている時に拒否するような波風を立てることはしたくありません。どの程度だったら辞めても問題なさそうでしょうか」って訊いてしまいます。
半端に続けるより、さっさと辞めて次の人に譲る方が喜ばれるって場合もありますよ。