会社に通勤しながら、自立支援制度の更新をしに行くにはどうしたらいいですか？

お仕事が土日休みで役所に行く時間がないということでしょうか？
でしたら有給を取って平日に行くか、郵送で手続きをするのが良いと思います。都道府県によってはオンラインで手続きできるところもあります。
お住まいの市区町村の保健所等にご確認ください。