(1)
y=nsin(x/n) - x
とする。
このとき
y(0)=0・・・・・①
y'=cos(x/n)-1≦0・・・・②
さらに
0\u0026lt;x\u0026lt;nπ/2 → y'\u0026lt;0・・・・③
①③から
0\u0026lt;x\u0026lt;nπ/2 → y\u0026lt;0・・・・④
さらに、x≧nπ/2のとき
y(nπ/2)=n-nπ/2\u0026lt;0
だから、②により
y\u0026lt;0・・・・・⑤
④⑤から
x\u0026gt;0 → y\u0026lt;0 → nsin(x/n) \u0026lt; x ・・・・⑤
(2)
x²+y²=1 , y=nsin(x/n) の交点 x=p[n]は
1-p[n]²=y²=n²sin²(p[n]/n)・・・・・・⑥
\u0026lt; n²(p[n]/n)²=p[n]²・・・⑤を使用
→ p[n]\u0026gt;1/√2・・・・⑦
(3)
(i)
⑥で(☆)を使うと
1-p[n]²=y²=n²sin²(p[n]/n)≧(nsin(1/n))²p[n]²
→ 1={1+(nsin(1/n))²}p[n]²
→ p[n]≦1/√{1+(nsin(1/n))²}・・・・⑧
(ii)
Sn=∫[0,p[n]] nsin(x/n)dx=[-n²cos(x/n)][p[n],0]
=n²{1-cos(p[n]/n)}=2n²sin²(p[n]/(2n))
Sn=2n²{sin(p[n]/(2n))/(p[n]/(2n))}²・(p[n]/(2n))²
={sin(p[n]/(2n))/(p[n]/(2n))}²・p[n]²/2・・・・・⑨
ここで、⑧から
p[n]≦1/√2 (n → ∞) となり、⑦と合わせて
p[n] → 1/√2
となる。
すると
p[n]/(2n) → 0 だから、⑨の第一項は1、第２項は1/4に収束するから
Sn → 1/4
(4)
y=(nsin(1/n))x-nsin(x/n)
とおく。
すると
y(0)=0・・・・・⑩
y'=nsin(1/n)-cos(x/n), y'(0)=nsin(1/n)-1\u0026lt;0
ここで、⑤でx=1 としたときの結果を使った。
これと⑩から
y≦0 → (nsin(1/n))x-nsin(x/n)≦0
をえる。
