いいえ。出来ません。
Xはログインなしでの読み取り対策を色々やっていて、有料アカウントでないと大規模な取得は難しいようガードされています。実用的な範囲だと、月100万投稿読み込み80万円プランということになるでしょう。それ以上となると最低650万円/月からとされています。企業なら普通に契約できますが、個人ではハードル高めですね。
狙い撃ちで学習するだけなら人間が操作すればいいだけなので関係ないですが、自動化による収集対象になる可能性はXはだいぶ(一般のネットに比べれば相対的に)低いわけです。Xの投稿はXの商材であり、Xに守られている。金を払えば見られるけどね。
BSは今のところ投稿で商売する気がないので、完全ノーガード、どころか公式が積極的に支援しています。
簡単にデータを取る仕組みを公式で用意していて※、ログイン者限定投稿も読み放題(というかログインしないと公式機能は使えなかったはず)。BSには鍵垢がないことから、全ての投稿を簡単かつ機械的に収集できます。
単に「なんでも良いからSNSの投稿っぽいのを学習元にしたい」と考える人がいた場合、XではなくBSを対象にする可能性は高めでしょう。
※Xは頑張ってる方だけど、非公式な収集を完全に対策するのは大変で、非効率的な手段でアクセスされると負担が大きいから、なら低負荷な手段を用意しよう、というのもあると思う。当然普通にデータを収集してBSだったり、それ以外を発展させるAIその他のツールを開発することが出ることに期待している点もあると思われる。実際それを利用した便利BotもBSに色々あるし。