現在 Y! mobile で使用中の電話番号をそのままで ahamo へ切り替えしたいという事ですね。
携帯（スマホ）は、
・端末本体
・回線契約の SIM カード
の２つで構成されています。
使われている端末はそのまま使い回線だけを切り替えるという場合は、現在使用中の端末が docomo の回線を利用できるかどうか？を確認しておく必要があります。
・端末の対応周波数が docomo に対応しているか？
・SIM ロック解除が必要かどうか？
は重要な項目となります。
ahamo では端末購入が出来なかったと思うので、端末も変更したい場合は別途調達する必要がありますね。
電話番号を維持したまま他社へ移る場合は MNP という方法を使います。
ahamo（アハモ）にMNPで乗り換える方法｜申し込み手順や必要な準備を紹介
https://ahamo.com/column/column49/index.html
手数料はかかりますがドコモショップでも ahamo 申し込みサポートが受けられたと思います。
事前に MNP 予約番号を回線契約中のところ（今回は Y! mobile です）で発行するか、MNPワンストップ方式で「その場で発行する（一時的に契約元のサイトに移動して発行することになったかと）」という２通りあります。
事前に発行しておいて予約番号を控えておいた方がトラブルは少ない気がしますが…。
移行先への申込みが完了し、SIM カードが到着（あるいは eSIM の発行手続き完了など）したら「回線切り替え（転入手続き）」の手続きを行って「有効な SIM カード」の切替を行います。
この回線切り替えが行われるまでは元の回線は利用可能で、切り替え後に元の回線は解約されて新しい方の回線が利用可能な状態となります。
どちらも同じ電話番号なので、いずれか１つしか有効にならないです。
回線切り替えは手続きしてから３０分～１時間ほどで完了すると書かれていることが多いですが、「切り替えを実行可能な時間帯」が決まっており、夜間に手続きをすると翌日の９時以降から順次対応になるなどがあります。
eSIM の場合は色々手順がある（ eSIM のプロファイルのダウンロード = SIM カードを端末に入れるのと同じ扱いになる）ので、慣れが必要かもしれません。
