押しボタン式信号機のある横断歩道で、ボタンを押して信号待ちをしている歩行者がいる場合、車道側は青信号でも車は停止しなければいけませんか？

信号に従うほうが優先されますので、車道が青信号なら止まる必要はありません。（止まってはいけません）
車道が青信号のときに横断歩道の前で止まっても、横断歩道側の信号は赤なので、歩行者は横断歩道を渡れません。
信号がない横断歩道のみ、歩行者が優先されます。