戸籍がない子供の扱いが悪い(国の支援がない)のは国の問題でしょうか？

DVが理由で届けられないのは、確かにそうかも知れない。

足跡残したら、追跡される危険があるから。

証人保護プログラムのように、全くの別人になることが出来る制度があればよいのですが。

日本にはないですね。