一般に、Rが体のときR[x]はPIDになるので、ℂ [x]はPIDです。
よってイデアルは全て
(f(x)) (f(x)∈ℂ [x])
の形になります。
このうち極大イデアルはℂ [x]/(f(x))が体になるような(f(x))であり、そのようなf(x)は既約多項式ですがℂ[x]上では1次式のみです。
よって極大イデアルは
(x-a) (a∈ℂ)
です。(ℂ [x]/(x-a) ≅ℂ)
極大イデアルは素イデアルなので、上記(x-a)は全て素イデアルであり、これに(0)を加えれば全てです。
よって
(x-a) (a∈ℂ) と (0)
