まず、その Chromebook の USB-C端子は DisplayPort Alt mode 非対応です。
なので、一般的な USB-C to HDMI ケーブルは使えません。
もし USB-C to HDMI でプロジェクターに接続したい場合は、DisplayLink 対応の USB-C to HDMI アダプタを買う必要があります。
Chromebook は DisplayLink ドライバが標準搭載されているので出力できる可能性は高いですが、DisplayLink対応アダプタは1万円前後と高価ですし、CPUが非力な ARM の Chromebook だと出力できてもカクカクする可能性が高いです。
プロジェクター側がWiFi接続できるようなタイプであれば Chromecast などで接続できる可能性があり、それが可能ならそれを使うのがいいでしょう。