>住民税を特別徴収にお願いしたい旨を伝え
このときに、会社は承諾の返事をくれましたか?一方的にメモだけつけて、納付書だけ渡したんじゃないですよね??
特別徴収に切り替えるのは、会社が市町村へ異動届を出さないといけません。そしてこの異動届を書くのには、あなたの年税額と、何月分まで徴収済か、の情報も必須です。
つまり、今年の6月頃に前職からもらった、特別徴収の決定通知書がないと、何も書けません。
普通は、あなたがお願いしたときに、そう言ってくれるか、なければ『無理』と断られるか、なんですけどね。
どうにか何とかして今年中に出してくれたとしても、それが市町村に着いて、市町村が残りの住民税額を残りの月数で割って決定して、会社に変更決定通知が届くまでには、最低でも1ヶ月くらいはかかるでしょう。
1月分給与からも間に合わない可能性が大きいです。
不親切或いは無知な担当者だと、そのまま何もせず黙殺されるかもしれないです。
『住民税特別徴収切替えの件、どうなりましたか?』と確認してみましょう。