アイブック学術代行でございます。
もちろんです。ご一緒に、落ち着いて整理してまいります。
この問題は、複素数が書かれたカードを3枚まで順に引いたときの性質を、場合分けで丁寧に数える問題です。見た目は少し複雑ですが、実数・純虚数・0 に分けて考えると非常に見通しがよくなります。
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【問題の整理】
集合
I1={k｜kはn以下の自然数}
I2={-k｜kはn以下の自然数}
I3={ki｜kはn以下の自然数}
I4={-ki｜kはn以下の自然数}
A=I1∪I2∪I3∪I4∪{0}
したがって、A の要素は
0，
±1, ±2, …, ±n，
±i, ±2i, …, ±ni
の合計 4n+1 個です。
このカードを1列に並べたとき、左から k 番目の数を Xk とします。
全事象は、
X1, X2, X3 を順に取り出す順列なので
(4n+1)(4n)(4n-1)
通りです。
また、0 以外の実数は 2n 個、0 以外の純虚数も 2n 個あります。
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【(1) 積 X1X2X3 が 0 となる確率】
積が 0 になるのは、3枚のうち少なくとも1枚が 0 のときです。
0 が1枚しかないので、
「3枚とも 0 でない」確率を先に出して引きます。
P(3枚とも0でない)
= (4n/(4n+1))×((4n-1)/(4n))×((4n-2)/(4n-1))
= (4n-2)/(4n+1)
したがって
P(X1X2X3=0)
= 1 - (4n-2)/(4n+1)
= 3/(4n+1)
よって、
（1）3/(4n+1)
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【(2) 積 X1X2X3 が実数となる確率】
積が実数になるのは、
・どれか1つでも 0 を含むとき
または
・0 を含まず、純虚数の個数が偶数個のとき
です。
なぜなら、純虚数を1個かけると虚数になり、2個かけると実数に戻るからです。
0 を含まない3枚については、
実数2n個、純虚数2n個が対等に並んでいるので、
積が実数になる場合と虚数になる場合はちょうど半々です。
したがって
P(積が実数)
= P(0を含む) + P(0を含まない)×1/2
= 3/(4n+1) + ((4n-2)/(4n+1))×1/2
= (6+4n-2)/(2(4n+1))
= (4n+4)/(2(4n+1))
= 2(n+1)/(4n+1)
よって、
（2）2(n+1)/(4n+1)
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【(3) 和 X1+X2 が実数となる確率】
X1+X2 が実数になるのは、次の2通りです。
① 2枚とも実数であるとき
② 2枚とも純虚数で、しかも互いに逆数ではなく「逆元」ではなく「反対数」であるとき
つまり ai と -ai の組のとき
まず①。
実数カードは
0, ±1, ±2, …, ±n
の 2n+1 個あるので、
(2n+1)×2n
通りです。
次に②。
純虚数カードは
±i, ±2i, …, ±ni
の 2n 個あります。
和が実数になるには ai と -ai の組しかありません。
順序つきで考えると、
(i,-i), (-i,i), (2i,-2i), (-2i,2i), ……
で合計 2n 通りです。
したがって有利な場合の数は
(2n+1)×2n + 2n
= 4n^2+4n
= 4n(n+1)
全体は
(4n+1)(4n)
通りなので、
P(X1+X2 が実数)
= 4n(n+1) / {(4n+1)(4n)}
= (n+1)/(4n+1)
よって、
（3）(n+1)/(4n+1)
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【(4) X1(X2+X3)=0 となる確率】
積が 0 になるのは、
① X1=0
または
② X2+X3=0
のときです。
順に数えます。
■ ① X1=0 の場合
X2, X3 は残り 4n 個から順に取るので
4n(4n-1)
通りです。
■ ② X1≠0 で、X2+X3=0 の場合
X1 は 0 以外なので 4n 通り。
X2+X3=0 となるには、X2 と X3 が互いに反対数の組でなければなりません。
ただし、X1 と同じカードはもう使えないので、X1 と -X1 の組は使えません。
したがって、X2 の選び方は
X1 と -X1 を除いた 4n-2 通りで、X3 は自動的に決まります。
よって
4n(4n-2)
通りです。
以上より、有利な場合の数は
4n(4n-1) + 4n(4n-2)
= 4n(8n-3)
したがって
P(X1(X2+X3)=0)
= 4n(8n-3) / {(4n+1)(4n)(4n-1)}
= (8n-3) / {(4n+1)(4n-1)}
よって、
（4）(8n-3)/{(4n+1)(4n-1)}
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【(5) X1(X2+X3) が実数となる確率】
ここは、
X1 が 0 か、実数か、純虚数か
で分けると整理しやすいです。
■ ① X1=0 のとき
このときは
X1(X2+X3)=0
ですから、必ず実数です。
この確率は
1/(4n+1)
です。
■ ② X1 が 0 でない実数のとき
このとき、積が実数になるには
(X2+X3) が実数
であればよいです。
X1 として非零実数を1枚取ると、残り 4n 枚のうち
実数は 2n 個、純虚数は 2n 個です。
この残りから X2, X3 を選んで和が実数になるのは、
・2枚とも実数
・純虚数どうしで反対数の組
のときです。
その数は
2n(2n-1) + 2n
= 4n^2
全体は
4n(4n-1)
通りなので、条件つき確率は
4n^2 / {4n(4n-1)}
= n/(4n-1)
です。
■ ③ X1 が 0 でない純虚数のとき
このとき、積が実数になるには
(X2+X3) が純虚数
であればよいです。
同様に数えると、この条件つき確率もやはり
n/(4n-1)
になります。
したがって全体では
P(実数)
= 1/(4n+1) + (4n/(4n+1))×(n/(4n-1))
= (4n-1 + 4n^2) / {(4n+1)(4n-1)}
= (4n^2+4n-1) / {(4n+1)(4n-1)}
よって、
（5）(4n^2+4n-1)/{(4n+1)(4n-1)}
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【答えのまとめ】
（1）3/(4n+1)
（2）2(n+1)/(4n+1)
（3）(n+1)/(4n+1)
（4）(8n-3)/{(4n+1)(4n-1)}
（5）(4n^2+4n-1)/{(4n+1)(4n-1)}
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【ひとこと】
この問題は、複素数の計算そのものよりも、
「実数」「純虚数」「0」に分けて、どんなときに和や積が実数になるかを落ち着いて見抜けるかが大切な問題です。
特に
・純虚数を2個かけると実数になる
・純虚数どうしの和が実数になるのは反対数どうしのとき
この2点を押さえると、一気に見通しが良くなります。
必要でしたら次に、
「答案としてそのまま書ける簡潔版」
または
「途中式をさらに細かくした完全版」
の形でも整えてお渡しできます。
