3人の方がすでに回答していますが、どれも違いますね。
まず、再発行の申請は「みどりの窓口」で行うのが基本です。ただ、JR東日本はみどりの窓口が激減していますので、みどりの窓口のない駅では改札係員が対応します。再発行の申請が済むと、再発行整理番号票というのをくれます。それには前のSUICAの番号が書いてあります。
それを持って、翌日以降、2週間以内にみどりの窓口に行くと、SUICAの再発行をしてもらえます。その場で再発行するのではありません。
なお、再発行の手数料と新しいカードのデポジットで合計1020円かかります。なくしたSUICAの残高が520円未満の場合（なくした間に誰かに使われた場合も含みます）は届けを出せば前のSUICAは無効になるので、新たにSUICAを作り直す方が安く済みます。
また、質問の後半にあることですが、申請と再発行は別の駅で大丈夫です。仙台で申請して、翌日以降、上野で受け取ることも可能です。
