重要例題５７ 高次式を割った時の余り(１) nを２以上の自然数とするとき、xⁿ－１を（x－１）²で割った時の余りを求めよ。(２) ３x¹⁰⁰∔２x⁹⁷∔１をx²∔１で割った時の余りを求めよどちらも最初に立式する余りの式はわかります。（(１)だとxⁿ－１＝（x－１）²Q(x)+ax+b)だけど、マジでこれしか分かんなくてその後意味不明で理解できませんでした数弱なので、分かりやすく解説をお願いします。

(1) x^n-1=(x-1)^2･Q(x)+ax+b

(2) 3x^100+2x^97+1=(x^2+1)Q(x)+ax+b

これらの式を書いた後、することは数値代入が基本です。

(1)では代入する値はx=1しかない、(2)ではx=i,-iしかない。

それ以外の値ではQ( )が残ってしまって全く役に立たないから。



(2)は代入する値が2つあるから簡単です。x=i,-iを代入したら式が2つ

できるから解けます。実際に割り算をすることを考えたらaもbも実数

だからx=iだけあるいはx=-iだけでできます。この場合a,bは実数である

と書かないといけません。



(1)は代入する値が1つしかない。微分を知っているなら微分した式に

x=1を代入することができて解けます。微分を知らないとすると

x=1を代入して0=a+b,b=-a、従ってx^n-1=(x-1)^2･Q(x)+ax-a

x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+･･･+x+1)、ax-a=(x-1)だから

これらを代入して両辺をx-1で割って

x^(n-1)+x^(n-2)+･･･+x+1=(x-1)Q(x)+a、これにx=1を代入して

n=a、∴nx-n