2025年1月まで2年程ジャカルタに居ました。その経験からお答えします。
1.Blue Birdと言うタクシー会社は24時間対応しています。
大抵の場合、ホテル近傍にタクシーが客待ちしています。
2.送迎付きホテルも同様に24時間対応しています。
3.空港の公式HPではAirportホテルが紹介されていますが、国際線第三ターミナルで見た事がありません。
いずれ、午前6時の便なら空港には午前4時過ぎに行く事になると思われ、その時間帯なら渋滞も無く、ジャカルタ市内から空港「CGK」まで30分位で移動可能と思われます。空港から近い場所にもホテルがありますが、わざわざそこに泊まる必要も無いでしょう。
私の場合、仕事での赴任でしたがプライベートでの移動はもっぱら「Grab」や「Gojek」の配車アプリを利用しており、仲良くなった運転手とは連絡先を交換し、直接やり取りして利用していました。