＞ ガムテープがはりついたまま走行するのは危険でしょうか？
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貼り付けられた写真は、暗くてどの様な状態か判断が難しく感じます。
ガムテープの糊が張りついただけなのであれば、数キロ程も走行すればすぐに摩耗して無くなります。
最初の数キロにあまり無理しない程度で十分だと思います。
「タイヤ自体が古く、ひび割れや劣化が少し目立つ」のも程度問題です。
・トレッド面の溝に細かなクラック（ヒビ割れ）が見える程度なら、私であればあまり無理しない走行にして、早めに新品タイヤに交換することにします。
・製造から４～５年以上経過（タイヤ側面の刻印で判断できます）しているとか、タイヤのサイドウォールにクラックが見えるとか、トレッド面の溝のクラックが深いとかのタイヤであれば、早急に新品タイヤに要更新です。
↓ブリジストンより、タイヤサイズ表記の見方
https://www.bridgestone.co.jp/products/tire/mc/howto/tire_size.html
＞ この車種はTZR50Rなのですが、もしタイヤを変えるとなれば、装着できる最大のサイズにしたいのですが、どのサイズまでなら適当でしょうか。
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TZR50Rのフロントタイヤは、80/90-16、バイアス、チューブレスが指定で、フロントのリム形状とサイズはMT1.85です。
↓ブリジストンより、「二輪自動車用タイヤ（路上用）対応サイズ一覧表」です。
https://www.bridgestone.co.jp/products/tire/mc/products/assets/pdf/bikesize.pdf
MT1.85のリムだと、履くことができるタイヤのサイズは、100/80-16と3.00-16（計算すると、幅と高さが76.2ｍｍ）になります。
標準のMT1.85リムには、計算からだと100/80-16のタイヤを履かせることは可能なのですが、フロントフェンダーとの干渉が心配です。
また、フロントタイヤを太くすると操縦性がダルになります。
単純にタイヤを大きくすることにあまりメリットは無く、むしろデメリットが多くなります。
指定サイズの80/90-16から選ぶのがベストマッチです。
そのうえでグリップ性能のアップを狙うのであれば、「ツーリング → スポーツ → ハイグリップ」と、タイヤ選択を変えるのがよろしい様に思います。
一般的にハイグリップタイヤは、ツーリング用タイヤと比較すると、グリップが良く、ライフが短く、ウェット性能が低く、価格が高くなる傾向になります。
ですから、タイヤの選択に際しては、単純にグリップ性能を追い求めていくのではなく、総合的に考える必要があります。
日常走りにレース用タイヤでは無駄です。
ツーリング用タイヤではジムカーナには完全に力不足です。
「80/90-16、フロント用、チューブレス、ハイグリップ」タイヤとしては、私が調べた限りでは以下のラインナップがありました。
（※ 80/90-16サイズだと、ハイグリップタイヤしかありませんでした。）
・DUNLOP TT900GP
・ブリジストン BT39SS
このうちだと、あくまで私見ですが、ブリジストンBT39SSがよろしい様に思います。
https://amzn.asia/d/0OXx1NT
