ログにはサーバー側で取るものとクライアント側で取るものがありますが、例えばボタンクリック等はクライアント側で発生するイベントですので、必然的にログが取れるのはクライアントサイドということになります。クライアントサイドのログ取りにはいろいろなツールがありますが、やはり一番有名でユーザー数も圧倒的に多く、機能も揃っているのはgoogleアナリティクスだと思います。
「各通販サイトで自社アナリティクスについては厳しく取り締まる」という件に関してですが、そりゃそうです。通販サイトに自分のアナリティクスを置くというのは、実店舗に例えたら、「お宅のお店に当社の商品を置いてもらっている。販売の統計を取りたいので、当社のドアセンサーと、商品を監視できるところにカメラを設置、さらにレジのレポートも送ってくれ」と言っているようなものですので。これは、使うログサービスがgoogleアナリティクスかどうかは関係ありません。実店舗の例に沿って言えば、どのメーカーのドアセンサーだろうと、どのメーカーの監視カメラだろうと、設置させてくれないという話です。
「HTMLタグではGA4がうまく発火しなかったり、googlesiteのボタンを配置するとスマホ版でのデザインが崩れてしまい...」という件に関しては、正直頑張って、としか言いようがありません。例えばボタンクリックでGA4のイベントを発火させたいのであれば、JavaScriptを使います。HTMLだけでできるものではありません。ボタンの配置でレイアウトが崩れてしまうのは、HTMLやCSSを工夫して頑張りましょう。この程度なら、それなりに安価で請け負ってくれる人もいるかもしれないので、もしお困りなら外注も検討してみましょう。
