>振込用紙を使ってお金を振り込む場合に銀行口座から引き落としにしたら、その銀行口座の名義人の名前が振込先に伝わるのかなと気になっていました。
⇒「用紙に記載している(されている)名前」が相手(通販会社)に届きます。
誰の口座から支払っても、その口座名義が伝わることはありません。
>その支払いを私の家族の銀行口座から引き落としにすると、『振込用紙に記載された名前(私の名前)』と『銀行口座の名義人(私の家族の名前)』が違うという事になります。
⇒その『払込用紙(振込用紙)』を使って「質問者さんのご家族の口座」から「今」引き落とすことはできません。
『払込用紙(振込用紙)』を金融機関の窓口に持って行って口座から支払う(振り込む)か現金を持参またはATMを使って支払います。
分からない時は手元にある『払込用紙(振込用紙)』と現金を持って郵便局窓口に行った方が確実だと思います。
※そもそも「引き落とし」というのは事前に『口座振替依頼書』というものを金融機関や収納代行会社等に提出する必要があります(実際に引き落とされるようになるのは数ヶ月後)
つまり、『口座振替依頼書』を提出していなければ引き落としはできないということです。
一般的に「引き落とし」という場合は、毎月の公共料金やスマホ代等を自動的に支払う(引き落とす)という意味になります。