毎日5時起きですが、午後2か3時ってすごく眠くないですか？

5時に起きたからと言って眠いということはないです

睡眠時間が短すぎるのではないですか？

5時に起きるのであれば 22時までには寝た方がいいです

11時以降に寝ているのであれば 睡眠不足で眠くなると思います