ご心配ありがとうございます。そのような状況は確かに困ります。
まず、同じ内容の申請が二つ存在している場合、通常は後申請のものが無効になるべきですが、状況によっては例外もあるため、直接年金事務所に確認するのが最良です。おっしゃる通り、正月休み中ですので、休み明けに電話して状況を説明し、正しい処理方法を確認するのが一番です。
年金事務所では、電子申請を取り下げたい旨を伝え、正しい申請を再度送信した旨を説明すれば、対応してくれるはずです。もし必要とされる場合は、以前の申請を取り消した際の申請番号や日付などの情報を提供すると、お手伝いできる可能性があります。
紙での申請が必要になるかどうかは、電話での対応によります。それに応じて年金事務所の指示に従ってください。
同じような経験された方は少なくともないわけではありませんが、具体的な対応は事務所によるため、直接お問い合わせするのが一番確実です。
おっしゃる通り、雇用保険の方は問題なく申請できたとのこと、これは少しは楽です。それでも、年金保険の問題を解決するまで心配な気持ちになるのは自然です。
休み明けに電話してみてください。お手伝いできるよう、できるだけ詳しく状況を説明してください。そして、その結果をもとに正しい対応を行ってください。