本来、週20時間以上など条件を満たしていれば、自動的に社保・厚生年金に入り、保険料は天引きされますから、未納は発生しません。
前の会社が手続きしなかった可能性が高いです。
その場合、会社に対して遡っての社保への加入を要求できます。
同時に、あなたもその間の保険料の支払いが必要になります。
過去の給料明細が残っていれば、社会保険料が天引きされていないか、確認してください。
もし天引きされていたら、会社はあなたの保険料を横領しています。
訴えれば100%勝ちです。
そうでなくても正規の手続きをしなかった分、会社は圧倒的に不利です。
ただし、まともな会社なら手続きしないことはないですから、よほど経営が苦しいか、悪質です。
法律問題になりますから、一人でやるのはなかなか難しいでしょうね。
難しそうなら、とりあえず法テラスに相談してみましょう。
もし年金に入っていなければ、20歳になれば国民年金に自動加入です。
請求が来たのは国民年金の方でしょう。
その間の収入がすくなれければ、猶予・免除は今からでも可能です。
分割での支払いも、相談すればある程度認められます。
会社と戦うのが面倒なら、そちらを選択するという手もあります。
基本的には悪いのは会社です。あなたは気にする必要はありません。