家族カードで支払ったことに対するマイルは、本会員であるお父様のものになりますが、家族カードに刻印されるお得意様番号(マイレージ番号)は質問者様ご本人のものですので、今までどおり搭乗するだけでJGCの特典を利用できるようになります。
家族カードを発行する際に、質問者様のお得意様番号が必要になりますので、お父様へJALカードnaviに書かれているお得意様番号を伝えてください。
反映されるのは、家族カードの審査が完了した後、手元に届く少し前くらいです。手元に届くまでには約1~3週間ほどかかります(年末年始等は更に遅くなります)。