鎌倉幕府が設立され、承久の乱が起こり上下関係が確定し、征夷大将軍は天皇に任命されている→統治を天皇に委託されているという拡大解釈の元、各幕府が統治を進めたという話であってますか？

征夷大将軍というのは東部方面の総司令官というもので、肩書きそのものは大した地位ではありません
ただ、鎮西将軍その他の同格の官職がいなくなって、武家の棟梁なので天下が乱れた時、実際の武力を統括しているものが睨みを効かせられるので政を預けるに値するというわけで権力を得ただけです。それでも鎌倉や室町将軍に比べて徳川将軍圧倒的な石高を持っていたので大きな権力となるわけです
まぁ、カダフィが大佐の肩書きのまま国家元首やってるようなものでしょう