一般的な旅行者の場合ですね。
独立国はどの国でも原則的に、自国の領土内などの主権領域内で起きた犯罪については裁判管轄権を行使します。
日本も同様で、実行者が外国人であっても日本の法律で裁いて処罰します。
殺人罪などの場合は、外国などの主権領域外で起きた事件でも、実行者が自国民であれば裁判管轄権を持つと定めている国が多いです。日本も同様です。
※自国民による殺人罪であっても、主権領域外であれば自国の裁判管轄権を行使しないとしている国もある。
また主権領域外で自国民が被害者になった場合も、裁判管轄権を行使すると定めている国も少数ながらあります。
例えば日本の場合は、外国領土などどこで起きた殺人罪でも、実行者が何国人であっても、被害者が日本人であれば日本の裁判管轄権を適用するとしています。
ご質問の場合ですが、少なくても日本は裁判管轄権をもちます。
また多くの場合、実行者の国籍国も裁判管轄権を持ち、さらに被害者が日本人や実行者の同国人以外の場合、被害者の国籍国も裁判管轄権を持つこともあるわけです。
こうした複数国が裁判管轄権を持つ場合に、どの国が優先して行使するとか、どのように調節するかと言った、統一的な国際ルールはありません。
日本の場合は、外国からの容疑者引き渡し請求があった時の対処については、『逃亡犯罪人引渡法』で定めています。
日本国内で起訴した時から→裁判が確定→有罪なら刑罰を終えるか刑罰を受けなくなるまで。の間は引き渡さないことになっています。
容疑者の引き渡しは、外国からの請求があった時、外務大臣から→法務大臣に伝えられ→東京高検検事長が判断→東京高裁の審査によって、引き渡しが決められます。
通常起訴手続きの方が引き渡しの決定より早く進みますが、政府の判断で引き渡しを優先する気なら、起訴手続きを遅らせれば引き渡せることになります。
こうした事は、日本が「犯罪人引き渡し条約」を結んでいる米国・韓国相手でも、引き渡し条約のないその他の国相手でも同じです。
ただ、米港・韓国の場合は条約上の義務があるので、手続き上問題がなければ引き渡されますが、それ以外の国からの請求は任意の物なので、基本的には政府の判断によって引き渡すかどうかが決まります。
一般的な事ですが、ある国が有罪判決により刑罰を科した後でも、同じ犯罪について、別の国がさらに裁判に掛け処罰することもできます。
こうしたルールも国によって異なりますが、日本の場合は既に科された刑罰+日本の刑罰の合計が、日本の国内法の法定刑の限度内であれば、重ねての処罰も可能です。
例えば日本人が外国で殺人罪を犯して、その国で懲役10年の服役のあとで、さらに日本の国内法で死刑を科すことも法的には可能です。
