モンティ・ホール問題について疑問に思ったことがあります。まずそれぞれに1〜100の番号がついた100個の扉の中に１つ当たりがあるとします。もし1を選んだとして1以外の99個のうちハズレの4〜100の97個が開いたとします。この場合変えた方が得になると思うので今回は2を選んだとします。その後1か3の内ハズレの3の1個が開いたとします。この場合1に戻るのが得なのか2にいたままの方が得なのかどちらですか?自分の語彙力が無くて伝わらない部分もあるかもですが、よろしくお願いします。

最初に挑戦者が扉1を選んだ時点で、

扉1が当たりの確率 = 1/100

扉2～100のうちどれかが当たりの確率 = 99/100

です。



司会者は当たりの扉の番号を知っているので、司会者が扉2～100からハズレの97枚の扉を選んで開けても扉2～100のうちどれかが当たりの確率は99/100のままです。このため扉1～3が残された段階で

扉1が当たりの確率 = 1/100

扉2が当たりの確率 = 99/200

扉3が当たりの確率 = 99/200

になります。



次に挑戦者が扉2に選び直した後、「もし扉2が当たりならば司会者は扉1と3のどちらかをランダムに開ける」と仮定します。



すると起こりうる可能性は次の4つです。

① 当たりが扉1で、司会者は扉3を開ける事になった。

これが起こる確率は(1/100)×1 = 1/100。

②a 当たりが扉2で、司会者は扉1を選んで開けた。

これが起こる確率は(99/200)×(1/2) = 99/400。

②b 当たりが扉2で、司会者は扉3を選んで開けた。

これが起こる確率は(99/200)×(1/2) = 99/400。

③ 当たりが扉3で、司会者は扉1を開ける事になった。

これが起こる確率は(99/200)×1 = 99/200。



しかし実際には①か②bのどちらかが起きた事が明らかなので

①の生起確率 = (1/100) / (1/100 + 99/400) = 0.0388...

②bの生起確率 = (99/400) / (1/100 + 99/400) = 0.9611...

となり、扉2を選び続ける方が得です。