この質問，見るの3回目か4回目だ。
なかなか，しっくり来ていない様子ですね。。。
2つの内容が書かれているので，まずは後半部分から，根本的な解説を。
＞そもそもβ/αってβの偏角をαの偏角だけ引いたものなので写真の左図の角の矢印の向きはおかしいと思います。
右の図の方ではないでしょうか？
小学校以来学習してきた「引き算」「割り算」には，「2つのモノを比較する」と言う機能があります。そして，大原則は「基準になる数は，『引く数』『割る数』である」と言うことです。
例えば，「5は3に比べてどれだけ大きいか？」と聞かれたら，5-3を計算します。答えは+2. これは3→5の増加量を表します。
逆に，「5に比べて，3はどれだけ大きいか？」（意図的に語順を入れ替えています）と聞かれたら，3-5を計算し，答は-2です。これは，5→3の増加量を表します。
割り算でも，「今年は昨年に比べて何％増えたか？」を求めるには，(今年)÷(昨年) で計算します。
この大原則は，複素数平面であっても通用します。
「βの偏角はαの偏角に比べてどれだけ大きいか？」を求めるには，β÷αの偏角を求めることになります。そして，この場合，基準＝出発点はαになりますから，線分OA→線分OB の向きで矢印を引かないと，つじつまが合いません。
＞その時β/αとγ/αのそれぞれの偏角を考えるとβ/αとγ/αは互いに共役な関係にあるらしいのですがそれが分かりません。
これについては，線分どうしの関係として捉えるのではなく，三角形と複素数の関係としてしっかり理解しておきましょう。今後役に立ちます。
△OABの「形状」を決定する方法はいくつかあることは，相似の単元で学習したと思います。
その中でも，最もよく使う決定法が「2辺の比と間の角」です。
△OABにおいて，z=(β-0)/(α-0) という複素数zを考えます。
(1) zの絶対値 |z| は，|β-0| を |α-0| で割ったものであり，|β-0|=(OBの長さ)です。
従って，|z| は「OB/OA」という「辺の比」を表す数になります。
(2) zの偏角 arg(z) は，arg(β-0)-arg(α-0) になり，線分OA→線分OB 方向の角の大きさと符号(方向)を表します。
従って，arg(z) は∠AOB（A→Bの符号も含めた角）を表しています。
以上の(1),(2) のことから，z=(β-0)/(α-0) で「三角形の形状」を表すことになります。
その上で，図を見ると，
線分OAに関してBとCが対称になっていますので，
OA=OA，OB=OCが成り立つので，
|(β-0)/(α-0)|=|(γ-0)/(α-0)| が成り立ちます。…①
また，∠AOB=-∠AOC が成り立ちます。
マイナスが付いていることに注目してください。このことは「大きさとしては同じだが回転方向が反対である」ことを表します。
だから，
arg((β-0)/(α-0)|=-arg((γ-0)/(α-0)|が成り立ちます。…②
①，②と，共役複素数の性質であるarg(z)=-arg(z⁻) を組み合わせると，
(β-0)/(α-0)={(γ-0)/(α-0)}⁻
・・・・「⁻」は共役の「バー」で中カッコにバーが付いているのは中カッコ全体を共役にするという意味です。・・・・
が成り立ちます。
上記で，しつこく，(□-0) という不要な0を書きましたが，頂点がOでなくても，例えばD(δ)であれば，0のところにδ(デルタ)を入れれば良いという意味です。
このような考え方で，今まで学習した複素数平面を眺め直してみてください。きっと，今までとは違った見え方になると思います。
