重要例題123 完全数自然数ｎに対して、ｎのすべての正の約数（1とｎを含む）の和をＳ（ｎ）とする。例えば、Ｓ（９）＝1∔３∔９＝１３である。ｎが異なる素数ｐとｑによってｎ＝p²ｑと表されるとき、Ｓ（ｎ）＝２ｎを満たすｎを全て求めよ。ちょっと何言ってるか意味が分かんなくてよくわからないです。 解説お願いしたいです。数弱なので言葉で分かりやすく説明いただけるとありがたいです。

n=p^2qより

その約数の和は

(1+p+p^2)(1+q)

の展開した項として全て得られるため、上式がS(n)である

よって

S(n)=(1+p+p^2)(1+q)=2n=2p^2q

1)p=2のとき

左辺=7(1+q)

右辺=8q

このとき、q=7よりn=28

2)q=2のとき

左辺=3(1+p+p^2)

右辺=4p^2

これを満たす整数pは存在しない。

3)p,qが異なる奇素数のとき

1+p+p^2は奇数、1+qは偶数である。

また、右辺は素因数2が1つ、かつq^2pは奇数なので

右辺には素因数2が1つのみ。

よって左辺の偶数1+q=2となる。

∴q=1であるが素数ではないので不適。



以上より(p,q,n)=(2,7,28)