auから楽天モバイルに月末で切り替えようと思っています。SIMカードの場合は、カードが届いて回線が切り替わった時点で、auの料金が掛からなくなりますか？それとも、楽天モバイルに申し込んだ時点で料金がかからなくなりますか？

SIMカードが届いて回線が切り替わった時点で、auの料金が掛からなくなります。
SIM到着までは最短でも2日はかかる見込みですので、もう月末には間に合わない可能性大です。
eSIMのみ(端末購入無し)且つeKYCでの申込なら最短即日開通です。