まず三角比から三角関数に拡張された時点で度数法ではなく弧度法(実数)に定義が変わっているので。
いつまでも「算数」ではないので。
なぜ、度数法ではなく「関数」は弧度法を使うのかは理解できていますか？
「πは角度としてのπ」
⇒ まず π は実数で角度というよりも「偏角」で単位はラジアンです。
元々の直角三角形の定義も含めて、拡張された定義となっています。
円で定義される弧度法に拡張されて実数として扱います。
実数なので
1/x , x² といった四則演算はもとより
sin(x)/x
といった演算も可能となります。
弧度法は実数扱いなので三角関数は
sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - …
cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - …
と右辺を整式に展開することができます。
一方、指数関数は
e^x = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + …
であるから
e^(ix) = 1 + ix/1! - x²/2! + ix³/3! + …
となることから
e^(ix) = cos(x) + i sin(x)
とできます。
このような式の変換ができるのかどうかは詳細は省略するが
これがオイラーの公式
e^(ix) = cos(x) + i sin(x)
である。
cos(x) + i sin(x)
も指数法則
f(α+β) = f(α)f(β)
{f(α)}^β = f(αβ)
を満たすので指数関数である。
またオイラーの公式に π を代入した
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = -1
とし、-1 を移項した
e^(iπ) + 1 = 0
をオイラーの等式といいます。
このときのπは偏角といいます。
※角度とは言いません。算数の名残で角度と言う人もいますが図形的な角度とは定義が変わります。
定義はすでに拡張されて三角関数も三角比の定義の直角三角形から離れ単位円に変わり、「角度」も
度数法→弧度法(実数)
さらに複素平面での定義に拡張されて
弧度法(実数)→複素数
に角度も偏角に拡張されていますので。
なお、ここまでくると逆に三角関数も指数関数で表すことが可能となり三角関数に複素数を代入することも可能になります。
e^(ix) = cos(x) + i sin(x)
e^(i(-x)) = cos(x) - i sin(x)
の連立方程式を解くことで
sin(x) , cos(x) を指数関数で表すことができる。
そうなると x に複素数を代入することも可能となる。
定義も弧度法から複素数に拡張され、角度の概念は実数の範囲でしか意味を持たなくなります。
