(j,k)=(1,1)から(n,n)までn²個の組み合わせがあります。
jとkの大きさを比べると、次の３通りに分かれます。
(2,4)なら、j\u0026lt;k …①
(8,8)なら、j=k …②
(6,1)なら、j\u0026gt;k …③
(1)
質問にないですが、(1)をやっておきます。
(1+2+…+n)(1+2+…+n)={n(n+1)/2}² …④になります。
(2)
②のjkの和は、1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6 …⑤
①のjkの和と➂のjkの和は等しいので、④から⑤を引いて2で割れば①の和になります。
(3)
(2)の答えから、j=k-1の和（Sとします）を引けば(3)の答えになります。
S=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)n
S+(2+3+4+…+n)=2×2+3×3+4×4+…+n×n
S+n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/6
S=n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2
