税制上の扶養というのは、親の年末調整時に扶養控除という所得控除を受けられるかどうかだけの話です。
なので、親の年末調整で扶養控除を申告しなければ親の税金が上がるだけのことで、その後は何の効果もありません。
一方、社会保険上の扶養は、いわゆる親の健康保険の被扶養者になるということで、それについては年末調整とは何ら関係なく、条件さえ満たせばいつでも加入できます。手続きは、親経由で会社の健康保険組合に申請してもらう必要があります。
あなたの言う扶養がどちらのことを指しているのか知りませんが、いずれにしても親に頼むしかありません。
