e5489で遠方の親の旅券を予約したいです。親が発券できない場合、私がクレジットカードで購入して発券した切符を遠方の親に郵送すれば問題なく切符が使えますでしょうか。

きっぷは郵送しても良いです。
ただし、万が一の郵便事故のおそれがありますので、簡易書留郵便にすることを推奨します。

また、万が一新幹線が止まったなどの理由で使用を取りやめる場合は、返金の手続きはそのままではできません。
きっぷに証明を記載の上、購入者の質問者さんに送り返し、質問者さんがクレカを持って1年以内に手続きしないといけません。

ところで旅券って、日本国旅券（いわゆるパスポート）のことでしょうか？
旅券は国内旅行には必要ないですよ。