就活の活動実績なんて認定日にハロワに行くとこですら該当しますので心配無用です。
何なら近くのコンビニの応募のポスターを見た、でも通ります。
ハロワで端末使って企業を検索して求人票を出すことが該当する、つまり応募すらしていなくとも就活したことにはなるんです。
で、失業給付とは雇用保険を払ってきた人が活用できる「保険制度」でしかありません。
損保保険に掛け金かけてて保険金貰うのに遠慮など要らないのと同じです。
あくまで建前としてそういった支給などを活用して早く就労して「税金も早く払ってね」ってことでしかないです。
ただ、訓練が始まると恐らく認定する仕組みが変わりますのでそれは確認しておいた方が良いです。
自分は東京都民ですが、訓練校在籍時は認定の処理を訓練校が代行してくれてハロワには行ってなかったです。クラス全員の認定は月末に訓練校に預けておいた認定の書類に就労の報告を書いて(大抵全部就労無しでしょうが)それをそのまま提出する事で済みました。
個々の認定日(確か28日ごとでしたっけ)は末日に変わりますから、その切り替え時は支給金額に齟齬が発生すると思います。