Wi-Fiの電波が弱い場合、無線中継器ではあまり良い結果にならないことが多いです。
中継器は速度低下や遅延が発生しやすく、動画視聴では改善を感じにくいと思います。
おすすめなのは、
現在のルーターからLANケーブルを引き、別のWi-FiルーターをAP（アクセスポイント）モードで接続する方法です。
この構成であれば、通信が安定し、Fire TVの画質や動作も改善しやすくなります。
APモードの設定は比較的簡単です。
また、1万円前後のWi-Fiルーターであれば、メーカーは問わず好きな物を買って大丈夫です。
