>タイミーの源泉徴収票だけ処理出来ないとの…
「扶養控除等異動申告書」を提出してない社の給与は、年末調整の守備範囲ではないからです。
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/gensen/2668.htm
>新しい職場での年末調整書類をもちいて…
・年末調整済みの源泉徴収票
・年末調整をしていない源泉徴収票
の両方が必要です。
税金について詳しくは、国税庁の『タックスアンサー』をどうぞ。
http://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/index2.htm